Question

如图，已知△ABC是等边三角形，AB=6，点D在AC上，AD=2CD，CM是∠ACB的外角平分线，连接BD并延长与CM交于点E．
（1）求CE的长；
（2）求∠EBC的正切值．

Answer 1

解：（1）在BC延长线上取一点F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=6，∠ACF=120°，
∵CM是∠ACB的外角平分线，
∴∠ECF=∠ACF=60°，
∴∠ECF=∠ABC，
∴CE∥AB，
∴=，
又∵AD=2CD，AB=6，
∴=，
∴CE=3．

（2）过点E作EH⊥BC于点H．
∵∠ECF=60°，∠EHC=90°，CE=3，
∴CH=3，EH=，
又∵BC=6，
∴BH=BC+CH=，
∵∠EHB=90°，
∴tan∠EBC==．
分析：（1）首先证明CE∥AB，则△ABD∽△CED，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解；
（2）过点E作EH⊥BC于点H，在直角△CEH中，利用三角函数求得CH和EH的长度，即可求得BH的大小，即可求得三角函数值．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，以及三角函数值的求法，求三角函数值的问题常用的方法是转化为求直角三角形的边的问题．