Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一点，过P作⊙O的切线，切点为C，连接AC．若∠CPA=30°，∠CPA的平分线交AC于点M，则∠CMP=________度．

Answer 1

45
分析：连接OC．利用切线PC的性质、直角三角形的两个锐角互余求得∠COP=60°；然后利用等腰三角形AOC以及三角形的外角的性质求得∠A=30°；最后根据三角形外角的性质求得∠CMP=45°．
解答：解：连接OC．
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCP=90°；
又∵∠CPA=30°，
∴∠COP=60°（直角三角形的两个锐角互余）；
而OA=OC（⊙O的半径），
∴∠A=∠OCA（等边对等角），
∴∠COP=2∠A（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴∠A=30°；
∵PM是∠CPA的平分线，∠CPA=30°，
∴∠MPA=15°，
∠CMP=∠A+∠MPA=45°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）．
故答案是：45．
点评：本题考查了切线的性质．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．