Question

在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁．
（1）求正方形ABCD的面积；
（2）求正方形A₁B₁C₁C的面积；
（3）若按题中的规律继续作正方形A₃B₃C₃C₂…，则正方形A_nB_nC_nC_n-1的面积为

（

9

4

）ⁿ×5

．（用含n的式子表示）

Answer 1

分析：（1）由点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．即可求得OA与OD的长，然后由勾股定理即可求得AD的长，继而求得正方形ABCD的面积；
（2）易证得△DOA∽△ABA₁，然后由相似三角形的对应边成比例，可求得A₁B的长，即可求得A₁C的长，即可得正方形A₁B₁C₁C的面积；
（3）观察可得规律：正方形A_nB_nC_nC_n-1的面积为（

9

4

）ⁿ×5．

解答：解：（1）∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．
∴OA=1，OD=2，
在Rt△AOD中，AD=

OA2+OD2

=

5

，
∴正方形ABCD的面积为：（

5

）²=5；

（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA₁=90°=∠DOA，
∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA₁=90°，
∴∠ADO=∠BAA₁，
∵∠DOA=∠ABA₁，
∴△DOA∽△ABA₁，
∴

OD

AB

=

OA

A1B

，
即

2

5

=

1

A1B

，
解得：A₁B=

5

2

，
∴A₁C=A₁B+BC=

3 5

2

，
∴正方形A₁B₁C₁C的面积为：（

3 5

2

）²=

45

4

；

（3）∵正方形ABCD的面积为：5，正方形A₁B₁C₁C的面积为：

45

4

=

9

4

×5，
同理可得：正方形A₂B₂C₂C₁的面积为：

9

4

×

9

4

×5=（

9

4

）²×5，
∴正方形A_nB_nC_nC_n-1的面积为为：（

9

4

）ⁿ×5．
故答案为：（

9

4

）ⁿ×5．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．