Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点F，
（1）求证：BD=BF；
（2）当BC=3，AD=2时，求⊙O的面积；
（3）在（2）的条件下，判断△DBF是否为正三角形？并说明你的理由．

Answer 1

分析：（1）连接OE，易证OE∥BC，根据等边对等角即可证得∠ODE=∠F，则根据等角对等边即可求解；
（2）易证△AOE∽△ABC，根据相似三角形的对应边的比相等即可证得圆的半径，即可求解；
（3）在Rt△ABC中，求得cosB的值，即可确定∠B的度数，即可判断．

解答：（1）证明：连OE，则OE⊥AC．又BC⊥AC．
∴OE∥BC
∴∠OED=∠F．
又OD=OE，∠OED=∠ODE，
∴∠ODE=∠F，
∴BD=BF（3分）

（2）解：设⊙O的半径为R，则BD=2R，OD=OE=R，由OE∥BC
有△AOE∽△ABC，
∴

OE

BC

=

AO

AB

，即

R

3

=

2+R

2+2R

，
解得：R₁=2，R 2=-

3

2

（舍去）（6分）
∴⊙O的面积=πR²=4π（7分）

（3）解：△BDF是正三角形．理由如下：
由（2）知BD=2R=4．
∴AB=6，
在Rt△ABC中，cosB=

BC

AB

=

3

6

=

1

2

（8分）
∴∠B=60°，又BD=BF
∴△BDF是正三角形．（10分）

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确利用△AOE∽△ABC求得圆的半径是关键．