Question

如图，AB为⊙O的直径，C为圆周上的一点，过点C的直线MN满足∠MCA=∠CBA．
（1）求证：直线MN是⊙O的切线；
（2）作AD⊥MN垂足为D，交⊙O于E，若DC=2

3

cm，∠B=60°，求直径AB的长．

Answer 1

分析：（1）连接OC，求出∠ACB=90°，求出∠B=∠OCB=∠DCA，∠OAC=∠OCA，根据∠B+∠CAB=90°推出∠OCA+∠DCA=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）连接BC，解直角三角形求出AC，在△ACB中，解直角三角形求出AB即可．

解答：（1）证明：连接OC，
∵AB是⊙O直径，C为圆周上的一点，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，又∠MCA=∠CBA，
∴∠MCA=∠OCB，
∴∠ACO+∠MCA=90°，
即OC⊥MN，
∵OC为半径，
∴直线MN是⊙O的切线；

（2）解：∵∠B=60°
∴∠MCA=∠CBA=60°，
∵AD⊥MN，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=30°，
∵DC=2

3

cm，
∴AC=2DC=4

3

，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CBA=60°，
∴AB=

DC

sin60°

=

4 3

3 2

=8（cm）．

点评：本题考查了切线的性质和判定，等腰三角形的性质，解直角三角形，等知识点的应用，主要考查学生的计算和推理能力，题目综合性比较强，有一定的难度．