Question

如图，在长方形ABCD中，点Q在边CD上（不与点C、D重合），将长方形ABCD绕点Q顺时针旋转90°后，得到长方形A₁B₁C₁D₁，且重叠部分的四边形PCQD₁是长方形．如果AB=a，BC=b，CQ=x．（b＞a＞0）
（1）用含有a、b、x的代数式表示△QDC₁的面积S₁和△A₁BP的面积S₂．
（2）求六边形ABA₁B₁C₁D的面积S，并进行化简．

Answer 1

分析：（1）由ABCD为矩形，得到AB=DC=a，BC=AD=b，由CD-CQ=QD表示出QD，利用三角形的面积公式表示△QDC₁的面积S₁即可；由BC-CP=BP，表示出BP，由A₁D₁-PD₁=A₁P，表示出AP₁，利用三角形的面积公式表示出△A₁BP的面积S₂即可；
（2）六边形的面积=△QDC₁的面积+△A₁BP的面积+两个矩形ABCD的面积-矩形PCQD₁的面积，列出关系式，去括号合并即可得到结果．

解答：解：（1）根据题意列得：S₁=

1

2

x（a-x）；S₂=

1

2

（b-x）（b-a+x）；

（2）S=

1

2

x（a-x）+

1

2

（b-x）（b-a+x）+2ab-x（a-x）
=

1

2

ax-

1

2

x²+

1

2

（b²-ab+bx-bx+ax-x²）+2ab-ax+x²
=

1

2

ax-

1

2

x²+

1

2

b²-

1

2

ab+

1

2

bx-

1

2

bx+

1

2

ax-

1

2

x²+2ab-ax+x²
=

1

2

b²+

3

2

ab．

点评：此题考查了整式加减运算的应用，弄清题意是解本题的关键．