Question

如图，已知△ABC中，AB=AC=a，BC=10，动点P沿CA方向从点C向点A运动，同时，动点Q沿CB方向从点C向点B运动，速度都为每秒1个单位长度，P、Q中任意一点到达终点时，另一点也随之停止运动．过点P作PD∥BC，交AB边于点D，连接DQ．设P、Q的运动时间为t．
（1）直接写出BD的长；（用含t的代数式表示）
（2）若a=15，求当t为何值时，△ADP与△BDQ相似；
（3）是否存在某个a的值，使P、Q在运动过程中，存在S_△BDQ：S_△ADP：S_梯形CPDQ=1：4：4的时刻，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）BD=t．
（2）∵PD∥BC，∴=，
∵AC=15，BC=10，CP=t，
∴PD=10﹣t，
∵△ADP∽△BDQ，
∴=，
∴=，
解得：t=4，t=15（舍去），
答：t=4时，△ADP与△BDQ相似．
（3）存在，理由是：假设存在S_△BDQ：S_△ADP：S_梯形CPDQ=1：4：4，即==，∵PD∥BC，
∴△APD∽△ACB，相似比是，
∴=，设四边形CPDQ的边CQ上的高是h，则△BDQ的边BQ上的高是h，△ABC的边BC上的高是3h，
∴BQ×h=×BC×3h，（10﹣t）=×3×10，
∴t=，
∵AP=a﹣t=a﹣，AC=a，
∴=，代入解得：a=20，
答：存在某个a的值，使P、Q在运动过程中，存在S_△BDQ：S_△ADP：S_梯形CPDQ=1：4：4的时刻，a的值是20．