Question

如图，已知AB是⊙O的直径，AM切⊙O于点A，DO平分∠ADC，BC⊥DC，BC交⊙O于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD=3，DC=7，AB=10，求弦BE的长．

Answer 1

分析：（1）过点O作OE⊥CD于点F，根据角平分线的性质可得OF=OA=R，继而可得出结论．
（2）连接AE，判断出四边形CEMF是矩形，求出CF，得出ME，利用垂径定理得出AE，在Rt△ABE中利用勾股定理可求出BE．

解答：解：（1）过点O作OF⊥CD于点F，
∵AM切⊙O于点A，
∴OA⊥AM，
又∵DO平分∠ADC，
∴OF=OA（角平分线的性质），
综上可得：OF⊥DC，且OF=R，
∴CD是⊙O的切线．

（2）连接AE，则∠AEB=90°（圆周角定理），
∵OF⊥CD，BC⊥CD，
∴OF∥BC，
∵BC⊥AE，
∴OF⊥AE，
∴AM=ME（垂径定理），四边形CEMF是矩形，
又∵CF=DC-DF=DC-AD=4，
∴CF=ME=4，
∴AE=AM+ME=2ME=8，
在Rt△ANE中，BE=

AB2-AE2

=6．

点评：本题考查了圆的综合，涉及了切线的判定与性质、垂径定理、圆周角定理及勾股定理的知识，综合考察的知识点较多，解答本题的关键是熟练掌握涉及圆的一些性质定理．