题目内容

已知二次函数的图象过点（0，3），图象向右平移3个单位后以y轴为对称轴，图象向上平移2个单位后与x轴只有一个公共点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）写出y＞0时x的取值范围．

解：（1）∵图象向右平移3个单位后以y轴为对称轴，
∴抛物线的对称轴为直线x=-3，
∵图象向上平移2个单位后与x轴只有一个公共点，
∴顶点的纵坐标为-2，
∴抛物线的顶点坐标为（-3，-2），
设抛物线的解析式为y=a（x+3）²-2，
把（0，3）代入得9a-2=3，解得a= $\text{[math]}$ ，
所以抛物线的解析式为y= $\text{[math]}$ （x+3）²-2，

（2）当y=0时， $\text{[math]}$ （x+3）²-2=0，
解得x₁=-3+ $\text{[math]}$ ，x₁=-3- $\text{[math]}$ ，
∴当x＞-3+ $\text{[math]}$ 或x＜-3- $\text{[math]}$ 时，y＞0．
分析：（1）由图象向右平移3个单位后以y轴为对称轴得到抛物线的对称轴为直线x=-3，由图象向上平移2个单位后与x轴只有一个公共点，于是可设顶点式y=a（x+3）²-2，然后把（0，3）代入计算出a即可；
（2）先令y=0，求出抛物线与x轴的交点坐标，然后写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
点评：本题考查了二次函数的图象与几何变换：先把二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）配成顶点式y=a（x- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ，对称轴为直线x=- $\text{[math]}$ ，顶点坐标为（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），然后把抛物线的平移问题转化为顶点的平移问题．也考查了二次函数的三种形式．