题目内容
两块完全相同的直角三角板ABC和DEF如图1所示放置，点C、F重合，且BC、DF在一条直线上，其中AC=DF=4，BC=EF=3．固定Rt△ABC不动，让Rt△DEF沿CB向左平移，直到点F和点B重合为止．设FC=x，两个三角形重叠阴影部分的面积为y．
（1）如图2，求当x=
时，y的值是多少？
（2）如图3，当点E移动到AB上时，求x、y的值；
（3）求y与x之间的函数关系式．
解：（1）如图1：AB=DE=5，∵FC=x=
．∴DC=DF-FC=
．∵tanD=
=
=
，∴GC=
．∴y=
（EF+GC）•FC=
．（2）当点E运动到AB上时，如图2；
∵tanB=
=
=
，∴BF=
．∴x=FC=BC-BF=
．∵DC=DF-FC=
，=；∴GC=
．∴y=
（EF+GC）•FC=
．（3）本题分两种情况：
①当0＜x≤
时，如图3；DC=4-x；∵tanD=
==，∴GC=3-x．∴y=
（EF+GC）•FC=-
x2+3x．②当
＜x≤3时；如图4；y=S梯形EFCG-S△EHQ．由①知，梯形EFCG的面积为-
x2+3x．∵tanB=
=
=，BF=3-x，∴QF=4-
x．∴EQ=3-QF=
x-1．∵S△DEF=6，Rt△EHQ∽Rt△EFD．
∴S△EHQ：S△EFD=（EQ：ED）2；
∴S△EHQ=
（x-1）2；∴y=S梯形EFCG-S△EHQ=-
x2+3x-（x-1）2=-
x2+
x-．分析：（1）当x=
时，E在△ABC内部，设DE交AC于G，那么重合部分的面积就是梯形EGCF的面积，可在直角三角形DCG中，根据∠D的正切值求出CG的长，然后根据梯形的面积公式即可得出重合部分的面积即y的值．（2）当E在AB上时，在直角三角形BEF中，根据∠B的正切值和EF的长求出BF的值，进而可求CF即x的值，求y值可仿照（1）的方法进行求解．
（3）本题要分两种情况进行讨论：
①当E在AB左侧（包括E在AB上）时，重合部分是个梯形，其面积可参照（1）的方法进行求解．
②当E在AB右侧时，重合部分是个五边形，可用梯形EGCF的面积-△EHQ的面积（设EF交AB于Q，ED交AB于H）来求重合部分的面积，据此可得出y、x的函数关系式．
点评：本题考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、图形面积的求法以及二次函数的综合应用等知识点．注意可用类比的方法求解多个类似题型．
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