Question

如图，在△ABC中，AB=2

6

，AC=4，点D是AB中点，点E在边AC上，且∠AED=∠ABC．
（1）求AE的长度；
（2）设

AB

=

a

，

AC

=

b

，试用m

a

+n

b

表示向量

DE

．

Answer 1

分析：（1）首先根据对应角相等，两三角形相似，证得△ABC∽△AED．再根据对应边成比例，求得AE的长．
（2）根据向量减法的三角形法则，可知三角形中三边间的关系．再利用（1）中AE长，那么向量

DE

即可用

AD

与

AE

表示出来，进而用m

a

与n

b

表示出来．

解答：解：（1）在△ABC和△AED中，
∵∠A=∠A，∠ABC=∠AED
∴△ABC∽△AED（3分）
∴

AB

AE

=

AC

AD

∴

2 6

AE

=

4

6

∴AE=3

（2）∵

DE

=

AE

-

AD

，

AE

=

3

4

AC

=

3

4

b

，

AD

=

1

2

AB

=

1

2

a

（1分）
∴

DE

=

3

4

b

-

1

2

a

．

点评：本题考查相似三角形的性质、平面向量．解决本题的关键是懂得三角形中如何用三边向量表示、相似三角形的性质与判定．