Question

求函数y=

x2+2ax+1

x2+2bx+1

的最值．

Answer 1

分析：将函数y=

x2+2ax+1

x2+2bx+1

化为关于x的一元二次方程：（1-y）x²+2（a-by）x+（1-y）=0，从而得出△≥0，将本题视为在△≥0的情况下求y的最值，然后讨论b的范围，在b不同范围内求出y的最值．

解答：解：把y=

x2+2ax+1

x2+2bx+1

化为关于x的二次方程（1-y）x²+2（a-by）x+（1-y）=0，
∵△=（b²-1）y²-2（ab-1）y+a²-1≥0，
①b²-1＞0，即|b|＞1，
∴y1，2=

(ab-1)±|a-b|

b2-1

，可得y≤

(ab-1)-|a-b|

b2-1

或y≥

(ab-1)+|a-b|

b2-1

，
∴y极大值=

(ab-1)-|a-b|

b2-1

，
y极小值=

(ab-1)+|a-b|

b2-1

；
②b²-1＜0，即|b|＜1，则有

(ab-1)+|a-b|

b2-1

≤y≤

(ab-1)-|a-b|

b2-1

，
∴y极大值=

(ab-1)-|a-b|

b2-1

，
y极小值=

(ab-1)+|a-b|

b2-1

；
③b²-1=0，即|b|=1，得(ab-1)y≤

a2-1

2

，
当ab＞1时，y≤

a2-1

2(ab-1)

，∴y极大值=

a2-1

2(ab-1)

；
ab＜1时，y≥

a2-1

2(ab-1)

，∴y极小值=

a2-1

2(ab-1)

．

点评：本题考查了二次函数的最值，难度较大，主要在做题时要分不同情况讨论b的取值，再根据b的值最后求y的值．