Question

（2012•武汉模拟）如图，已知正方形ABCD，点P为射线BA上的一点（不和点A、B重合），过P作PE⊥CP，且CP=PE．过E作EF∥CD交射线BD于F．

（1）若CB=6，PB=2，则EF=

6

；DF=

4

2

；
（2）请探究BF，DG和CD这三条线段之间的数量关系，写出你的结论并证明；
（3）如图2，点P在线段BA的延长线上，当tan∠BPC=

2

5

或

3

7

时，四边形EFCD与四边形PEFC的面积之比为

12

35

．

Answer 1

分析：（1）连接AC、AE、PF，先由等腰直角三角形和正方形的性质得出∠CEP=∠CAP=45°，则A、E、C、P四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等得到∠EAC=∠EPC=90°，所以∠EAD=∠DAC=45°=∠ABD，由平行线的判定得出AE∥BF，又AB∥EF，得出四边形AEFB是平行四边形，则EF=AB=CB=6，再利用SAS证明△PEF≌△PCB，得出PF=PB=2，然后由勾股定理求出BF=2

2

，BD=6

2

，则DF=6

2

-2

2

=4

2

；
（2）连接AE，AC．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形CDEF是平行四边形，由平行四边形的对角线互相平分得到DG=GF，即DG+GF=2DG，进而得出BF+2DG=BD=

2

CD；
（3）作EM⊥BA的延长线于点M，延长EF交BC的延长线于点G，易证△PEM≌△PBC，四边形CDEF为平行四边形，则ME=BP=FG=AB+AP，AP=CG．设AB=BC=1，AP=CG=x，用含x的代数式分别表示S_{四边形PEFC}，S_{四边形CDEF}，根据四边形EFCD与四边形PEFC的面积之比为

12

35

，列出关于x的方程，解方程求出x的值，然后根据正切函数的定义即可求出tan∠BPC的值．

解答：解：（1）如图1，连接AC、AE、PF，
∵PE⊥PC，PE=CP，
∴∠CEP=∠CAP=45°
∴A、E、C、P四点共圆，
∴∠EAC=∠EPC=90°，
∴∠EAD=∠DAC=45°=∠ABD，
∴AE∥BF，而EF∥CD∥AB，
∴AB∥EF，
∴四边形AEFB是平行四边形，
∴EF=AB=CB=6，
∴∠APE=∠PEF，
∵∠EPC=∠PBC=90°，
∴∠APE=∠PCB，
∴∠PEF=∠PCB，
又PE=PC，
∴△PEF≌△PCB（SAS），
∴PF=PB=2，
∴BF=2

2

．
∵BD=

2

AB=6

2

，
∴DF=6

2

-2

2

=4

2

；

（2）BF+2DG=

2

CD．理由如下：
如图1，连接AE，AC．
由（1）可知，AB∥EF，AB=EF，
∵AB∥CD，AB=CD，
∴EF∥CD，EF=CD，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∴DG=GF，
∴DG+GF=2DG，
∴BF+2DG=BD=

2

CD；

（3）作EM⊥BA的延长线于点M，延长EF交BC的延长线于点G，
易证：△PEM≌△PBC，四边形CDEF为平行四边形，ME=BP=FG=AB+AP，AP=CG．
设AB=BC=1，AP=CG=x，则
S_{四边形PEFC}=S_矩形BMEG-2S_三角形BPC-S_三角形FCG=（2+x）（1+x）-（1+x）-

1

2

（1+x）x=

1

2

x²+

3

2

x+1，
S四边形CDEF=x；
∵四边形EFCD与四边形PEFC的面积之比为

12

35

，
∴x：（

1

2

x²+

3

2

x+1）=12：35，
x=

4

3

或

3

2

，
∵tan∠BPC=

BC

BP

=

1

1+x

，
∴当x=

4

3

时，tan∠BPC=

1

1+ 4 3

=

3

7

；
当x=

3

2

时，tan∠BPC=

1

1+ 3 2

=

2

5

．
tan∠BPC=

2

5

或

3

7

．
故答案为：6，4

2

；

2

5

或

3

7

．

点评：本题考查了等腰直角三角形、正方形的性质，四点共圆的条件，圆周角定理，平行四边形、全等三角形的判定与性质，四边形的面积，锐角三角函数的定义，综合性较强，难度较大．运用数形结合思想及正确地作出辅助线是解题的关键．