Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC=10，BC=12，P是上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D．
（1）当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？请说明理由；
（2）当DP为⊙O的切线时，求线段DP的长．

Answer 1

解：（1）当点P是的中点时，DP是⊙O的切线。理由如下：
连接AP。
∵AB=AC，∴。
又∵，∴。∴PA是⊙O的直径。
∵，∴∠1=∠2。
又∵AB=AC，∴PA⊥BC。
又∵DP∥BC，∴DP⊥PA。∴DP是⊙O的切线。
（2）连接OB，设PA交BC于点E。．

由垂径定理，得BE=BC=6。
在Rt△ABE中，由勾股定理，得：AE=。
设⊙O的半径为r，则OE=8﹣r，
在Rt△OBE中，由勾股定理，得：r²=6²+（8﹣r）²，解得r=。
∵DP∥BC，∴∠ABE=∠D。
又∵∠1=∠1，∴△ABE∽△ADP，
∴，即，解得：。

解析