Question

已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象相交于点A（-1，m）、B（-4，n）．
（1）求一次函数的表达式；
（2）在平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，并根据图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？当x为何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？
（3）连接OA、OB，求△AOB的面积．

Answer 1

解：（1）∵一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象相交于点A（-1，m）、B（-4，n），
∴把A点坐标代入反比例函数解析式得，m==-4；
把B点坐标代入反比例函数解析式得，n==-1；
∴A（-1，-4）、B（-4，-1），
代入一次函数y=kx+b得，，
解得，
∴一次函数的关系式为：y=-x-5；

（2）如图所示：
∵由函数图象可知，当x＜-4或-1＜x＜0时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，当-4＜x＜-1或x＞0时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，
∴当x＜-4或-1＜x＜0时，一次函数的值大于反比例函数的值；当-4＜x＜-1或x＞0时，一次函数的值小于反比例函数的值；

（3）如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，
∵点A与点B在反比例函数y=的图象上，
∴S_△OAD+S_△OCD，
∴S_△OAB=S_△OAD+S_梯形ABCD-S_△OBC=S_梯形ABCD=×（1+4）×（4-1）=．
分析：（1）先把A、B两点坐标代入反比例函数解析式即可求出m、n的值，进而可得出A、B两点的坐标，再把A、B两点的坐标代入一次函数的关系式即可求出k、b的值，进而可得出其关系式；
（2）利用描点法在坐标系内画出两函数的图象，再利用数形结合进行解答即可；
（3）首先过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，然后由S_△OAB=S_△OAD+S_梯形ABCD-S_△OBC=S_梯形ABCD，即可求得答案．
点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求解析式以及三角形面积问题．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．