Question

如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA=x．
（1）求证：△PFA∽△ABE；
（2）若以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似，试求x的值；
（3）试求当x取何值时，以D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似；
（2）由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑：当∠PEF=∠EAB时，则得到四边形ABEP为矩形，从而求得x的值；当∠PEF=∠AEB时，再结合（1）中的结论，得到等腰△APE．再根据等腰三角形的三线合一得到F是AE的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解．
（3）此题首先应针对点P的位置分为两种大情况：点P在AD边上时或当点P在AD的延长线上时．同时还要特别注意⊙D与线段AE只有一个公共点，不一定必须相切，只要保证和线段AE只有一个公共点即可．故求得相切时的情况和相交，但其中一个交点在线段AE外的情况即是x的取值范围．

解答：（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AD∥BC．（1分）
∴∠ABE=90°．
∴∠PAF=∠AEB．（1分）
又∵PF⊥AE，
∴∠PFA=∠ABE=90°．（1分）
∴△PFA∽△ABE．

（2）解：情况1，当△EFP∽△ABE，且∠PEF=∠EAB时，
则有PE∥AB（1分）
∴四边形ABEP为矩形．（1分）
∴PA=EB=2，即x=2．（2分）
情况2，当△PFE∽△ABE，且∠PEF=∠AEB时，
∵∠PAF=∠AEB，
∴∠PEF=∠PAF．
∴PE=PA．
∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点．（1分）
∵AE=

AB2+BE2

=

42+22

=

20

=2

5

，
∴EF=

1

2

AE=

5

．（1分）
∵

PE

AE

=

EF

EB

，即

PE

2 5

=

5

2

，
∴PE=5，即x=5．（2分）
∴满足条件的x的值为2或5．

（3）解：

作DH⊥AE，则⊙D与线段AE的距离d即为DH的长，可得d=

8 5

5

当点P在AD边上时，⊙D的半径r=DP=4-x；
当点P在AD的延长线上时，⊙D的半径r=DP=x-4；
如图1时，⊙D与线段AE相切，此时d=r，即

8 5

5

=4-x，∴x=4-

8 5

5

；
如图2时，⊙D与线段AE相切，此时d=r，即

8 5

5

=x-4，∴x=4+

8 5

5

；
如图3时，DA=PD，则PA=x=2DA=8，
如图4时，当PD=ED时，
∵DE=

CD2+EC2

=2

5

，
∴PA=PD+AD=4+2

5

，
∴当x=4-

8 5

5

或x=4+

8 5

5

或8＜x≤4+2

5

时，⊙D与线段AE只有一个公共点．（3分）

点评：综合运用相似三角形的判定和性质．特别注意和线段有一个公共点，不一定必须相切，也可以相交，但其中一个交点在线段外．