Question

已知抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（x₁，0），D（x₂，0）（x₁＞x₂）两点，并且AD=1，又经过点B（4，1），与y轴交于点C．
（1）求抛物线y=x²+bx+c的函数关系式；
（2）求点A及点C的坐标；
（3）如图1，连接AB，在题1中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）如图2，连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．

Answer 1

解：（1）令y=0，则x²+bx+c=0，即x²+2bx+2c=0，
根据根与系数的关系，x₁+x₂=-2b，x₁•x₂=2c，
AD===1，
整理得，4b²-8c-1=0①，
又∵点B（4，1）在抛物线上，
∴8+4b+c=1，
整理得，c=-4b-7②，
把②代入①得，4b²+32b+55=0，
解得b₁=-，b₂=-，
由图可知，抛物线x=-＜4，
所以，b＞-4，
∴b=-，
把b=-代入②得，c=-4×（-）-7=10-7=3，
所以，抛物线的解析式为y=x²-x+3；

（2）令x=0，则x²-x+3=0，
整理得，x²-5x+6=0，
解得x₁=3，x₂=2，
∵点A在点D的右边，
∴点A的坐标为（3，0），
令x=0，则y=3，
所以，点C的坐标为（0，3）；

（3）假设存在，分两种情况：如图1，①过点B作BH⊥x轴于点H，
∵A（3，0），C（0，3），B（4，1），
∴∠OCA=45°，∠BAH=45°，
∴∠BAC=180°-45°-45°=90°，
∴△ABC是直角三角形，
点C（0，3）符合条件，
所以，P₁（0，3）；
②当∠ABP=90°时，过点B作BP∥AC交抛物线于点P，
∵A（3，0），C（0，3），
∴直线AC的解析式为y=-x+3，
设直线BP的解析式为y=-x+b，
则-4+b=1，
解得b=5，
∴直线BP：y=-x+5，
联立，
解得，，
又∵点B（4，1），
∴点P的坐标为（-1，6），
综上所述，存在点P₁（0，3），P₂（-1，6）；

（4）如图2，∵A（3，0），C（0，3），B（4，1），
∴∠OAE=45°，∠OAF=∠BAH=45°，
又∵∠OFE=∠OAE，∠OEF=∠OAF，
∴∠OEF=∠OFE=45°，
∴OE=OF，∠EOF=180°-45°×2=90°，
∵点E在直线AC上：y=-x+3，
∴设点E（x，-x+3），
根据勾股定理，OE²=x²+（-x+3）²，
=2x²-6x+9，
所以，S_△OEF=OE•OF=OE²=x²-3x+=（x-）²+，
所以，当x=时，S_△OEF取最小值，
此时-x+3=-+3=，
所以，点E的坐标（，）．
分析：（1）令y=0，利用两点之间的距离表示出AD的长度，得到关于b、c的一个方程，再把点B的坐标代入抛物线解析式得到一个关于b、c的方程，然后联立求解得到b、c的值，再根据抛物线对称轴在点B的左边求出b的范围，舍去一个，然后即可得解；
（2）根据抛物线解析式，令y=0，解关于x的方程即可得到点A的坐标，令x=0，解关于y的方程即可得到点C的坐标；
（3）根据点A、B、C的坐标可以求出∠BAC=90°，从而得到△ABC就是直角三角形，所以点C即为所求的一个点P的，再根据平行直线的解析式的k值相等求出过点B的直线PB，与抛物线联立求解即可得到另一个点P；
（4）根据点A、B、C的坐标可得∠OAE=∠OAF=45°，再根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠OEF=∠OFE=45°，∠EOF=90°然后根据等角对等边可得OE=OF，然后利用直线AC的解析式设出点E的坐标，再利用勾股定理表示出OE的平方，然后利用三角形的面积公式列式整理即可得到面积的表达式，再利用二次函数的最值问题解答即可．
点评：本题是对二次函数的综合考查，主要利用了抛物线与x轴的交点间的距离的表示，抛物线上点的坐标特征，直角三角形的判定，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等的性质，（3）（4）两题，根据点A、B、C的坐标求出45°角，从而得到直角或相等的角是解题的关键，题目构思灵活，数据设计巧妙．