Question

已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+（1+2

3

）x+c经过A（2，0），B（1，n），C（0，2）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求线段BC的长；
（3）求∠OAB的度数．

Answer 1

分析：（1）根据题意，将AC的坐标代入可得ac的值，即可得抛物线的解析式；
（2）根据点B在抛物线上，可得B的坐标，进而可得BD、CD的值，根据勾股定理可得BC的长；
（3）连接OB，在Rt△BCD中，根据三角函数的定义易得∠BCD=30°，再由等腰三角形的性质，可得∠BCD=∠BOC+∠OBC，进而可得∠OAB=∠BOA=75°．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+（1+2

3

）x+c经过点A（2，0），C（0，2），
∴

4a+2(1+2 3 )+c=0 c=2

，
解得

a=- 3 -1 c=2

∴抛物线解析式为y=(-

3

-1)x2+(1+2

3

)x+2（2分）；

（2）∵点B（1，n）在抛物线上
∴n=2+

3

（3分）
过点B作BD⊥y轴，垂足为D．
∴BD=1，CD=

3

∴BC=2（4分）；

（3）连接OB．
在Rt△BCD中，BD=1，BC=2
∴∠BCD=30°（5分）
∵OC=BC
∴∠BOC=∠OBC
∵∠BCD=∠BOC+∠OBC
∴∠BOC=15°
∴∠BOA=75°（6分）
过点B作BE⊥OA，垂足为E，则OE=AE
∴OB=AB
∴∠OAB=∠BOA=75°．（7分）

点评：本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力．