Question

如图，在△ABC中，AB=BC．以AB为直径作圆⊙O交AC于点D，点E为⊙O上一点，连接ED并延长与BC的延长线交于点F．连接AE、BE，∠BAE=60°，∠F=15°，解答下列问题．
（1）求证：直线FB是⊙O的切线；
（2）若BE=cm，则AC=______cm．

Answer 1

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°．
∵∠BAE=60°，
∴∠ABE=30°，
∴∠ADE=∠ABE=30°，
∴∠FDC=∠ADE=30°．
∵∠F=15°，
∴∠ACB=∠F+∠FDC=45°．
又∵在△ABC中，AB=BC，
∴∠ACB=∠CAB=45°，
∴∠ABC=90°，即AB⊥FB．
又∵AB是直径，
∴直线FB是⊙O的切线；

（2）解：∵在直角△AEB中，BE=cm，∠BAE=60°，
∴AB===2（cm）．
∴在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，AB=2cm，则AC=AB=2cm．
故答案是：2．
分析：（1）欲证明直线FB是⊙O的切线，只需证明AB⊥FB；
（2）通过解直角△AEB求得AB的长度；然后在等腰直角△ABC中，根据勾股定理来求斜边AC的长度即可．
点评：本题考查了切线的判定、解直角三角形．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．