Question

【题目】如图②，在中，AC＝8cm，BC＝6cm，点P从点A出发，沿斜边AB向点B匀速运动，速度为，过点P作PQ⊥AB交AC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使点N落在射线PB上，连接CM，设CQ=y，运动时间为x（s）（0＜x＜），y与x函数关系如图①所示：

（1）求y与x函数关系式及a的值；

（2）设的面积为S，求S的最大值；

（3）若是等腰三角形，求x的值．

Answer 1

【答案】（1），a的值为4；（2）；（3）x的值为1或或．

【解析】

（1）利用待定系数法即可求出y与x函数关系式；当时，，从而可求出AQ的长，再根据相似三角形的判定与性质可求出AP的长，由此即可得出a的值；

（2）如图（见解析），先利用相似三角形的性质可求出PQ的长，从而可得MQ的长，再利用正弦三角函数可得DM的长，然后利用三角形的面积公式可得S与x的函数关系式，最后利用二次函数的性质求解即可；

（3）先利用线段的和差、勾股定理求出的值，再根据等腰三角形的定义分三种情况，分别建立方程求解即可得．

（1）设y与x函数关系式为

由图①可知，的图象经过点

将点代入得：，解得

则y与x函数关系式为

当时，，即

，

，

四边形PQMN是正方形

在和中，

，即

解得

则

综上，y与x函数关系式为，a的值为4；

（2）当运动时间为时

由（1）可知，，，

，即

解得

四边形PQMN是正方形

，

在中，

在中，，即

解得

则

整理得：

由二次函数的性质可知，当时，S取得最大值，最大值为；

（3）在中，

在中，

由等腰三角形的定义，分以下三种情况：

①当时，是等腰三角形

则

解得

②当时，是等腰三角形

则，即

解得或（不符题意，舍去）

③当时，是等腰三角形

则，即

解得或（不符题意，舍去）

综上，x的值为1或或．