Question

（2013•连云港模拟）如图，Rt△ABC中，BC=2

3

，∠ACB=90°，∠A=30°，D₁是斜边AB的中点，过D₁作D₁E₁⊥AC于E₁，连结BE₁交CD₁于D₂；过D₂作D₂E₂⊥AC于E₂，连结BE₂交CD₁于D₃；过D₃作D₃E₃⊥AC于E₃，…，如此继续，可以依次得到点E₄、E₅、…、E₂₀₁₃，分别记△BCE₁、△BCE₂、△BCE₃、…、△BCE₂₀₁₃的面积为S₁、S₂、S₃、…、S₂₀₁₃．则S₂₀₁₃的大小为（　　）

• A．

  3

  1006

  3

• B．

  6

  2013

  3

• C．

  3

  1007

  3

• D．

  4

  671

Answer 1

分析：首先由Rt△ABC中，BC=2

3

，∠ACB=90°，∠A=30°，求得△ABC的面积，然后由D₁是斜边AB的中点，求得S₁的值，继而求得S₂、S₃、S₄的值，即可得到规律：S_n=

1

n+1

S_△ABC；继而求得答案．

解答：解：∵Rt△ABC中，BC=2

3

，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴AC=

BC

tan30°

=

3

BC=6，
∴S_△ABC=

1

2

AC•BC=6

3

，
∵D₁E₁⊥AC，
∴D₁E₁∥BC，
∴△BD₁E₁与△CD₁E₁同底同高，面积相等，
∵D₁是斜边AB的中点，
∴D₁E₁=

1

2

BC，CE₁=

1

2

AC，
∴S₁=

1

2

BC•CE₁=

1

2

BC×

1

2

AC=

1

2

×

1

2

AC•BC=

1

2

S_△ABC；
∴在△ACB中，D₂为其重心，
∴D₂E₁=

1

3

BE₁，
∴D₂E₂=

1

3

BC，CE₂=

1

3

AC，S₂=

1

3

×

1

2

×AC•BC=

1

3

S_△ABC，
∴D₃E₃=

1

4

BC，CE₂=

1

4

AC，S₃=

1

4

S_△ABC…；
∴S_n=

1

n+1

S_△ABC；
∴S₂₀₁₃=

1

2013+1

×6

3

=

3

1007

3

．
故选C．

点评：此题考查了直角梯形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度较大，注意得到规律S_n=

1

n+1

S_△ABC是解此题的关键．注意掌握数形结合思想的应用．