Question

某输气管道途径A、B、C地．如图，其中C地在A地北偏东45°方向，C在B地北偏西60°方向，B地在A地北偏东75°方向．A、C两地相距2000米．
（1）问输气管道从A地沿A→B→C到C地的路程大约是多少？
（2）若输气管道改造为从A地沿A→C→B到B地，可节约路程多少米？
（最后结果保留整数，参考数据：≈1.732，≈1.414）

Answer 1

【答案】分析：（1）先作CD⊥AB交AB于D，根据B地在A地北偏东75°方向，C地在A地北偏东45°方向，求出∠CAD的度数，得出CD=AC，AD=AC•cos∠CAD，在Rt△BCD中，求出∠CBD的度数，再根据CD=DB，即可得出CB的长，最后根据AB+CB=AD+BD+CB进行计算即可；
（2）用AB的长减去AC的长即可．
解答：解：（1）作CD⊥AB交AB于D，
在Rt△ACD中，
∵B地在A地北偏东75°方向，C地在A地北偏东45°方向，
∴∠CAD=75°-45°=30°，
∴CD=AC=×2000=1000
AD=AC•cos∠CAD=×2000=1000，
∵在Rt△BCD中，∠CBD=180°-75°-60°=45°，
∴CD=DB=1000，
∴CB===1000，
∴AB+CB=AD+BD+CB=1000+1000+1000≈4146（m）；

（2）AB-AC=1000+1000-2000=414（m）．
答：从A→B→C的距离约为4146m，改造后可节约路程414m．
点评：此题考查了利用方向角解直角三角形，关键是通过作辅助线得出两个直角三角形，解题时要能根据方向角求出三角形的内角．