题目内容

如图，已知正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，延长BC到点F使CF=AE．
（1）若把△ADE绕点D旋转一定的角度时，能否与△CDF重合？请说明理由．
（2）现把△DCF向左平移，使DC与AB重合，得△ABH，AH交ED于点G．求证：AH⊥ED，并求AG的长．

解：（1）∵ABCD是正方形，
∴AD=DC=2，AE=CF=1，∠BAD=∠DCF=90°，
在△ADE与△CDF中，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴△ADE≌△CDF，
∴把△ADE绕点D逆时旋转90°时能与△CDF重合．

（2）由（1）可知∠1=∠2，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠EDF=90°，
∵AH∥DF，
∴∠EGH=∠EDF=90°，
∴AH⊥ED，
∵AE=1，AD=2，
∵ED= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ AE•AD= $\text{[math]}$ ED•AG，
即 $\text{[math]}$ ×1×2= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×AG，
∴AG= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据已知证明△ADE≌△CDF，从而得到结论；
（2）由（1）的结论及勾股定理可得ED，由直角三角形的面积公式求得AG．
点评：本题利用了全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式和平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．