题目内容
如图，矩形ABCD，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AD=10cm，且
tan∠EFC=| 3 | 4 |
（1）求证：△AFB∽△FEC；（2）求折痕AE的长．
分析：（1）先证明∠EFC=∠FAB，∠B=∠C，即可证明△AFB∽△FEC；
（2）根据AD=10cm，且tan∠EFC=
，利用问题（1）和勾股定理即可求得AE的长．
（2）根据AD=10cm，且tan∠EFC=
| 3 |
| 4 |
解答：（1）证明：∵∠AFE=90°，∠B=90°，∠C=90°．
∴∠BAF+∠AFB=∠AFB+∠EFC=∠EFC+∠FEC=90°．
∴∠BAF=∠EFC，∠AFB=∠FEC．
∴△AFB∽△FEC．
（2）解：∵AD=10cm，tan∠EFC=tan∠FAB=
，
又∵△AFB∽△FEC，
∴
=
=
，
又∵AF=AD=BC=10cm，
∴AB=8cm，BF=6cm，CF=4cm，CE=3cm；
∴EF=5cm，
∴AE=
=5
．
∴折痕AE的长为5
cm．
∴∠BAF+∠AFB=∠AFB+∠EFC=∠EFC+∠FEC=90°．
∴∠BAF=∠EFC，∠AFB=∠FEC．
∴△AFB∽△FEC．
（2）解：∵AD=10cm，tan∠EFC=tan∠FAB=
| 3 |
| 4 |
又∵△AFB∽△FEC，
∴
| AB |
| CF |
| BF |
| CE |
| AF |
| EF |
又∵AF=AD=BC=10cm，
∴AB=8cm，BF=6cm，CF=4cm，CE=3cm；
∴EF=5cm，
∴AE=
| AF2+ EF2 |
| 5 |
∴折痕AE的长为5
| 5 |
点评：本题主要考查对于相似三角形的掌握以及三角形勾股定理的应用．
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