Question

已知二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的图象经过点A(1，0)，B(2，0)，C(0，－2)，直线x＝m(m＞2)与x轴交于点D．

(1)求二次函数的解析式；

(2)在直线x＝m(m＞2)上有一点E(点E在第四象限)，使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标(用含m的代数式表示)；

(3)在(2)成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)根据题意，得 　　解得＝－1，b＝3，c＝－2． 　　∴y＝－x2＋3x－2 　　(2)当△EDB∽△AOC时， 　　得或， 　　∵AO＝1，CO＝2，BD＝m－2， 　　当时，得， 　　∴， 　　∵点在第四象限，∴E1． 　　当时，得，∴ED＝2m－4， 　　∵点E在第四象限，∴E2(m，4－2m)． 　　(3)假设抛物线上存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形，则 　　EF＝AB＝1，点F的横坐标为m－1， 　　当点E1的坐标为时，点的坐标为， 　　∵点F1在抛物线的图象上， 　　∴＝－(m－1)2＋3(m－1)－2， 　　∴2m2－11m＋14＝0， 　　∴(2m－7)(m－2)＝0， 　　∴m＝，m＝2(舍去)， 　　∴F1， 　　∴． 　　当点E2的坐标为(m，4－2m)时，点F2的坐标为(m－1，4－2m)， 　　∵点F2在抛物线的图象上， 　　∴4－2m＝－(m－1)2＋3(m－1)－2， 　　∴m2－7m＋10＝0， 　　∴(m－2)(m－5)＝0，∴m＝2(舍去)，m＝5， 　　∴F2(4，6)， 　　∴． 　　(其它方法请参照给分)