Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=，在线段AC上取点D，使AD=2CD，连接BD并延长交△ABC的外接圆于点E．
（1）写出图中现有的一对相似三角形，并说明理由；
（2）求弦CE的长．

Answer 1

解：（1）△ABD∽△ECD．
理由：∵∠A=∠E，∠ABD=∠ECD，
∴△ABD∽△ECD；

（2）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=，
∴AB==2，
∵AD=2CD，
∵△ABD∽△ECD，
∴CE：AB=CD：AD=1：2，
∴CE=AB=．
分析：（1）由∠A=∠E，∠ABD=∠ECD，由有两角对应相等的三角形相似，可得△ABD∽△ECD；
（2）由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=，可求得AB的长，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得弦CE的长．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．