Question

如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且AC＝CF，∠CBF＝∠CFB．

（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD=5时，求BF的长和扇形DOE的面积；
（3）在（2）的条件下，如果以点C为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为5，则r的取值范围为            ．

Answer 1

（1）三角形全等求证，进而分析；（2）（3）＜r＜ 

解析试题分析：（1）证明：∵∠CBF＝∠CFB  ∴CB＝CF    又∵AC＝CF ∴CB＝AC＝CF
∴以C为圆心AC长为半径的⊙C过A、B、F  ∴∠ABF＝90°
∴直线BF是⊙O的切线．                 3分
（2）解：连接DO，EO，
∵点D，点E分别是弧AB的三等分点 ∴∠AOD＝60°又∵OA＝OD ∴△AOD是等边三角形  ∴∠OAD＝60°，AB=10
在Rt△ABF中，∠ABF＝90°,∠BAF＝60°, AB=10
∴BF＝          6分
                  8分
（3）连接OC圆心距OC＝，圆O半径r=5．∴＜r＜ 
考点：全等三角形的性质和判定
点评：解答本题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．