Question

已知：如图，直线MN经过▱ABCD的顶点A，BB′⊥MN，CC′⊥MN，DD′⊥MN，B′、C′、D′是垂足．

（1）求证：CC′=BB′+DD′．

（2）现将直线MN向上或向下平移，请分别按下面要求画出示意图，写出这时四条垂线段AA′、BB′、CC′、DD′之间的等量关系式．并简要说明证明思路．

（ⅰ）使点A、B、C、D都在直线MN的同一侧，这时　　　　　　；

（ⅱ）使A点在MN的一侧，点B、C、D在另一侧，这时　　　　　　；

（ⅲ）使点A、B在MN的一侧，点C、D在另一侧，这时　　　　　　．

Answer 1

【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．

【分析】（1）如图1中，连接AC、BD交于点O，作OO′⊥MN于O′，利用三角形中位线定理以及梯形中位线定理即可证明．

（2）（ⅰ）如图2中，结论AA′+CC′=BB′+DD，连接AC、BD交于点O，作OO′⊥MN于OO′，利用梯形中位线定理可以证明AA′+CC′=BB′+DD．

（ⅱ）如图3中，结论CC′﹣AA′=BB′+DD，连接AC、BD交于点O，作OO′⊥MN于OO′，延长A′O交CC′于E，只要证明CC′﹣AA′=2OO′．BB′+DD′=2OO′即可．

（ⅲ）如图4中，结论CC′﹣AA′=DD′﹣BB，连接AC、BD交于点O，作OO′⊥MN于OO′，证明方法类似．

【解答】（1）证明：如图1中，连接AC、BD交于点O，作OO′⊥MN于O′．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO=OC，BO=BD，

∵BB′⊥MN．OO′⊥MN，CC′⊥MN，DD′⊥MN，

∴BB′∥OO′∥CC′∥DD′，

∴B′O′=O′D′，AO′=O′C′，

∴CC′=2OO′，BB′+DD′=2OO′，

∴CC′=BB′+DD′．

（2）（ⅰ）当点A、B、C、D都在直线MN的同一侧，

如图2中，连接AC、BD交于点O，作OO′⊥MN于OO′，

∵BB′⊥MN．OO′⊥MN，CC′⊥MN，DD′⊥MN，AA′⊥MN，

∴BB′∥OO′∥CC′∥DD′∥AA′，

∴B′O′=O′D′，A′O′=O′C′，

∴AA′+CC′=2OO′，BB′+DD′=2OO′，

∴AA′+CC′=BB′+DD′，

故答案为AA′+CC′=BB′+DD′

（ⅱ）当A点在MN的一侧，点B、C、D在另一侧，如图3中，

如图3中，连接AC、BD交于点O，作OO′⊥MN于OO′，延长A′O交CC′于E．

∵BB′⊥MN．OO′⊥MN，CC′⊥MN，DD′⊥MN，AA′⊥MN，

∴BB′∥OO′∥CC′∥DD′∥AA′，

∴B′O′=O′D′，A′O′=O′C′，

∴BB′+DD′=2OO′，

∵AA′∥CE，

∴∠AA′O=∠OEC，

在△AA′O和△CEO中，

，

∴△AA′O≌△CEO，

∴AA′=EC，A′O=OE，

∴EC′=2OO′，即CC′﹣AA′=2OO′，

∴CC′﹣AA′=BB′+DD′，

故答案为CC′﹣AA′=BB′+DD．                     

（ⅲ）当点A、B在MN的一侧，点C、D在另一侧，

如图4中，连接AC、BD交于点O，作OO′⊥MN于OO′，

∵BB′⊥MN．OO′⊥MN，CC′⊥MN，DD′⊥MN，AA′⊥MN，

∴BB′∥OO′∥CC′∥DD′∥AA′，

∴B′O′=O′D′，A′O′=O′C′，

同理可以证明：CC′﹣AA′=2OO′，DD′﹣BB′=2OO′，

∴CC′﹣AA′=DD′﹣BB′，

故答案为CC′﹣AA′=DD′﹣BB′．

【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、梯形的中位线定理、全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用中位线定理解决问题，题目有点难度，学会转化的思想，把问题转化为三角形中位线、梯形中位线解决．