Question

已知：如图，抛物线y=ax²-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标．

Answer 1

分析：（1）把C（0，4），A（4，0）代入y抛物线的解析式得到关于a与c的方程组，解方程组即可；
（2）设点Q的坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G，解方程-

1

2

x2+x+4可求得B（-2，0），则AB=6，BG=m+2，分别由QE∥AC，EG∥OC，根据三角形相似的判定得到△BEQ∽△BCA，△BEG∽△BCO，利用相似比可表示出EG=

2m+4

3

，而S_△CQE=S_△BCQ-S_△BEQ，根据三角形的面积公式用m表示S_△CQE，配成顶点式为S_△CQE=-

1

3

（m-1）²+3，再根据二次函数的最值问题即可得到m=1时，S_△CQE有最大值3，由此确定Q的坐标．

解答：解：（1）把C（0，4），A（4，0）代入y=ax²-2ax+c（a≠0）得，
c=4，16a-8a+c=0，
解得a=-

1

2

，c=4，
∴该抛物线的解析式；y=-

1

2

x2+x+4；

（2）设点Q的坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G，如图，
解方程-

1

2

x2+x+4=0得x₁=-2，x₂=4，
∴B点坐标为（-2，0），
∴AB=6，BQ=m+2，
∵QE∥AC，
∴△BEQ∽△BCA，
∴

BE

BC

=

BQ

BA

=

m+2

6

，
又∵EG∥OC，
∴△BEG∽△BCO，
∴

BE

BC

=

EG

OC

=

EG

4

，
∴

EG

4

=

m+2

6

，
∴EG=

2m+4

3

，
∴S_△CQE=S_△BCQ-S_△BEQ
=

1

2

BQ•OC-

1

2

BQ•EG
=

1

2

（m+2）•4-

1

2

（m+2）•

2m+4

3

=-

1

3

m²+

2

3

m+

8

3

=-

1

3

（m-1）²+3，
又∵-2≤m≤4，
∴当m=1时，S_△CQE有最大值3，此时Q点的坐标为（1，0）．

点评：本题考查了二次函数的综合题：点在抛物线上，则点的横纵坐标满足其二次函数解析式；通过几何关系列出二次函数关系式，并配成抛物线的顶点式y=a（x-h）²+k，当a＜0，x=h，y有最大值k．也考查了三角形相似的判定与性质．