题目内容
如图，抛物线y=-| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
（1）写出点A，P，A′的坐标（用含m，n的式子表示）；
（2）若直线BB'交y轴于E点，求证：线段B′E与AA′互相平分；
（3）若点A′在抛物线上且Rt△ABC的面积为1时，请求出抛物线的解析式并判断在抛物线的对称轴上是否存在点D，使△AA′D为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的D点坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据抛物线的解析式易得出A点和P点的坐标．根据旋转的性质可看得出AB=A′B′，BC=B′C，因此A′的横坐标为P点的横坐标与A点横坐标的和，而A′的纵坐标与P点的横坐标相等，由此可得出A′的坐标．
（2）在直角三角形BCB′中，BC=B′C，因此三角形BCB′是等腰直角三角形，即∠EBA=∠BB′C=45°，可得出EA=AB=A′B′，这样就证得了四边形AEA′B′是平行四边形，那么根据平行四边形的性质即可得出所证的条件．
（3）①根据A′在抛物线上，将A′的坐标代入抛物线的解析式中可得出一个关于m，n的等量关系．已知了三角形ABC的面积为1，可得出另一个关于m、n的等量关系，联立两式即可求出m、n的值，也就求出了A、A′的坐标．
②本题可分三种情况：
一：AD=A′D；二：AD=AA′；三：AA′=A′D；
可根据对称轴方程设出D点坐标，然后根据坐标系中两点间的距离公式来列等量关系进而可求出D的坐标．
（2）在直角三角形BCB′中，BC=B′C，因此三角形BCB′是等腰直角三角形，即∠EBA=∠BB′C=45°，可得出EA=AB=A′B′，这样就证得了四边形AEA′B′是平行四边形，那么根据平行四边形的性质即可得出所证的条件．
（3）①根据A′在抛物线上，将A′的坐标代入抛物线的解析式中可得出一个关于m，n的等量关系．已知了三角形ABC的面积为1，可得出另一个关于m、n的等量关系，联立两式即可求出m、n的值，也就求出了A、A′的坐标．
②本题可分三种情况：
一：AD=A′D；二：AD=AA′；三：AA′=A′D；
可根据对称轴方程设出D点坐标，然后根据坐标系中两点间的距离公式来列等量关系进而可求出D的坐标．
解答：（1）解：令x=0，得到y=n，
∴A（0，n），且m＞n＞0
∵y=-
x2+
mx+n=-
（x-m）2+
m2+n，
∴P（m，
m2+n）．
根据题意得，∠ABC=∠AOC=∠OCB=90°，
∴四边形ABCO是矩形．
∴BC=AO=B′C=n，AB=A′B′=OC=m．
∴A′点坐标为（m+n，m）．
（2）证明：连接EA′，AB′．
∵BC=B′C，∠BCB′=90°，
∴∠EB′O=45°．
∵∠EOB′=90°，
∴∠OEB′=45°，
∴OB′=OE=m+n．
∵AO=n，
∴EA=m，∵A′B′=m，
∴A′B′=EA（5分）
∵∠A′B′C=90°，
∴EA∥A′B′．
∴四边形AEA′B′是平行四边形．
∴对角线B′E与AA′互相平分．
（3）解：∵点A′（m+n，m）在抛物线上，
∴m=-
（m+n）2+
（m+n）m+n．
整理得：m-n=
（m+n）（m-n）
∵m＞n，即m-n≠0．
∴m+n=3，即n=3-m．
∵
AB•BC=1，即
mn=1．
把n=3-m代入
m•n=1
得，
m（3-m）=1．
解得
或
（不合题意舍去）
∴抛物线解析式为y=-
x2+
x+1．
∴A'（3，2），A（0，1）．
结论：在抛物线的对称轴上存在点D，使△AA′D为等腰三角形．
点D的坐标为：D1（2，1+
），D2（2，1-
），D3（2，5），D4（2，-1），D5（2，0）．
∴A（0，n），且m＞n＞0
∵y=-
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴P（m，
| 1 |
| 3 |
根据题意得，∠ABC=∠AOC=∠OCB=90°，
∴四边形ABCO是矩形．
∴BC=AO=B′C=n，AB=A′B′=OC=m．
∴A′点坐标为（m+n，m）．
（2）证明：连接EA′，AB′．
∵BC=B′C，∠BCB′=90°，
∴∠EB′O=45°．
∵∠EOB′=90°，
∴∠OEB′=45°，
∴OB′=OE=m+n．
∵AO=n，
∴EA=m，∵A′B′=m，
∴A′B′=EA（5分）
∵∠A′B′C=90°，
∴EA∥A′B′．
∴四边形AEA′B′是平行四边形．
∴对角线B′E与AA′互相平分．
（3）解：∵点A′（m+n，m）在抛物线上，
∴m=-
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
整理得：m-n=
| 1 |
| 3 |
∵m＞n，即m-n≠0．
∴m+n=3，即n=3-m．
∵
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
把n=3-m代入
| 1 |
| 2 |
得，
| 1 |
| 2 |
解得
|
|
∴抛物线解析式为y=-
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
∴A'（3，2），A（0，1）．
结论：在抛物线的对称轴上存在点D，使△AA′D为等腰三角形．
点D的坐标为：D1（2，1+
| 6 |
| 6 |
点评：本题为二次函数综合题，考查了图形的旋转变换、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定等知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
练习册系列答案
相关题目
26、已知：如图，抛物线C1，C2关于x轴对称；抛物线C1，C3关于y轴对称．抛物线C1，C2，C3与x轴相交于A、B、C、D四点；与y相交于E、F两点；H、G、M分别为抛物线C1，C2，C3的顶点．HN垂直于x轴，垂足为N，且|OE|＞|HN|，|AB|≠|HG|
如图，抛物线交x轴于点A（-2，0），点B（4，0），交y轴于点C（0，4）．
以P为圆心的圆经过点A，并且与直线BM相切？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
．点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行．直线y=-x+m过点C，交y轴于D点．
如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴两交点是A（-1，0），B（3，0），则如图可知y＜0时，x的取值范围是（ ）| A、-1＜x＜3 | B、3＜x＜-1 | C、x＞-1或x＜3 | D、x＜-1或x＞3 |