Question

【题目】如图，直线与抛物线交于点A，B，点A在轴上，点B在轴上．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）点P是直线AB上方的抛物线上的一动点，若S△AOB∶S△PAB＝8∶3，求此时点P的坐标．

（3）点E是抛物线对称轴上的动点，点F是抛物线上的点，判断有几个位置能够使得点E，F，B，O为顶点的四边形是平行四边形，直接写出相应的点F的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）F(5，－)，(－3，－)，(3，)．

【解析】

（1）先根据一次函数求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求解即可；

（2）先求出的面积，从而可得的面积，设点P的坐标为，如图1（见解析），从而可得点C的坐标，再根据三角形的面积公式即可；

（3）分OB为平行四边形的一条边和OB为平行四边形的一条对角线两种情况，然后根据平行四边形的性质分别求解即可．

（1）对于直线

当时，，则点B的坐标为

当时，则点A的坐标为

将点，代入抛物线的解析式得：

解得

则抛物线的解析式为；

（2）

如图1，过点P作轴，交AB于点C

设点P的坐标为，则，点C的坐标为

即

解得或

当时，，则点P的坐标为

当时，，则点P的坐标为

综上，此时点P的坐标为或；

（3）抛物线的对称轴为

根据平行四边形的定义，分以下两种情况：

①当OB为平行四边形的一条边时

此时，有以下两种情况，如图2所示：

则点的横坐标为，将其代入抛物线的解析式得：

即点的坐标为

点的横坐标为，将其代入抛物线的解析式得：

即点的坐标为

②当OB为平行四边形的一条对角线时，如图3所示：

为平行四边形

过点分别作x轴的平行线，分别交y轴和y轴的平行线与点M、N

，即

又

则点的横坐标为，将其代入抛物线的解析式得：

即点的坐标为

综上，点F的坐标为或或．