Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，8），与x轴交于B、C两点，其中点C的坐标为（4，0）．点P（m，n）为该二次函数在第二象限内图象上的动点，点D的坐标为（0，4），连接BD．

（1）求该二次函数的表达式及点B的坐标；

（2）连接OP，过点P作PQ⊥x轴于点Q，当以O、P、Q为顶点的三角形与△OBD相似时，求m的值；

（3）连接BP，以BD、BP为邻边作BDEP，直线PE交x轴于点T．当点E落在该二次函数图象上时，求点E的坐标．

Answer 1

【答案】（1） ,（﹣8，0）；（2）﹣4或﹣1﹣ ；（3）（1，）.

【解析】

（1）直接将A，C两点代入即可求

（2）可设P（m，-m2-m+8），由∠OQP=∠BOD=90°，则分两种情况：△POQ∽△OBD和△POQ∽△OBD分别求出PQ与OQ的关系即可

（3）作平行四边形，实质是将B、P向右平移8个单位，再向上平移4个单位即可得到点E和点D，点E在二次函数上，代入即可求m的值，从而求得点E的坐标．

（1）把A（0，8），C（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c得

，解得

∴该二次函数的表达为y＝﹣x2﹣x+8

当y＝0时，﹣x2﹣x+8＝0，解得x1＝﹣8，x2＝4

∴点B的坐标为（﹣8，0）

（2）设P（m，﹣m2﹣m+8），由∠OQP＝∠BOD＝90°，分两种情况：

当△POQ∽△OBD时，

∴PQ＝2OQ

即﹣m2﹣m+8＝2×（﹣m），解得m＝﹣4，或m＝8（舍去）

当△POQ∽△OBD时，

∴OQ＝2PQ

即﹣m＝2×（﹣m2﹣m+8），解m＝﹣1﹣ 或m＝﹣1+（舍去）

综上所述，m的值为﹣4或﹣1﹣

（3）∵四边形BDEP为平行四边形，

∴PE∥BD，PE＝BD

∵点B向右平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D

∴点P向右平移8个单位，再向上平衡4个单位得到点E

∵点P（m，﹣m2﹣m+8），

∴点E（m+8，﹣m2﹣m+12），

∵点E落在二次函数的图象上

∴﹣（m+8）2﹣（m+8）+8＝﹣m2﹣m+12

解得，m＝﹣7

∴点E的坐标为（1，）．