Question

【题目】如图1，在以O为原点的平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点P（s，t）在抛物线y= x2+1上，点P到x轴的距离记为m，PA=n．

（1）若s=4，分别求出m、n的值，并比较m与n的大小关系；
（2）若点P是该抛物线上的一个动点，则（1）中m与n的大小关系是否仍成立？请说明理由；
（3）如图2，过点P的直线y=kx（k≠0）与抛物线交于另一点Q连接PA、QA，是否存在k使得PA=2QA？若存在，请求出k的值；若不存在，请举例说明．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵当s=4时，点P（s，t）在抛物线y= x2+1上，

∴t=5，

∵点P到x轴的距离记为m，

∴m=5，

∴P（4，5）

∵A（0，2），

∴PA= =5，

∴m=n，

∴m=5，n=5，m=n

（2）

解：m=n 仍然成立．

设P（s， s2+1），

∴m= s2+1，

∴n= = s2+1，

∴m=n 仍然成立

（3）

解：如图，

分别过P、Q作PN⊥x轴，QM⊥x轴，

∵PA=2QA，

由（2）知，PN=2QM，

∵△QOM∽△PON，

∴ON=2OM，

设Q（a， a2+1），

∴P[2a， （2a）2+1]，

由PN=2QM得， （2a）2+1=2（ a2+1），

∴a= ，

当a= 时，

∴P（2 ，3），

∴k= ；

当a=﹣ 时，

∴P（﹣2 ，3），

∴k=﹣ ；

∴k=±

【解析】（1）根据抛物线上点的横坐标代入抛物线解析式中，求出t=5，再用两点间的距离公式求出PA，即可；（2）设出点P（S， S2+1），求出m，n即可；（3）分别过P、Q作PN⊥x轴，QM⊥x轴，由△QOM∽△PON得到ON=2OM，由PN=2QM建立方程， （2a）2+1=2（ a2+1），求出a= ，再分两种情况计算即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点，以及对二次函数的性质的理解，了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．