Question

在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，AE=AD，DE交对角线AC于点H，连接BH，有下列结论：
①△ACD≌△ACE，②△CDE为等边三角形，③AC⊥ED，④

EH

BE

=2
其中结论正确的是（　　）

A．①②

B．①②③

C．③④

D．①②③④

Answer 1

分析：根据等腰直角三角形的性质可得∠BAC=45°，再求出∠CAD=45°，从而得到∠BAC=∠CAD，然后利用“边角边”证明△ACD和△ACE全等，判定①正确；根据全等三角形对应边相等可得CD=CE，再求出∠CED=60°，得到△CDE为等边三角形，判定②正确；在等腰直角△ADE中，根据等腰三角形三线合一的性质可得AH⊥ED，即AC⊥ED，判定③正确；设EH=a，表示出AH、CH的长，从而得到AC的长，再根据等腰直角三角形的性质求出AE、AB，然后表示出BE的长，然后相比即可得到

EH

BE

的值，判定④错误．

解答：解：∵∠BAD=90°，AB=BC，
∴∠BAC=45°，
∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=90°-45°=45°，
∴∠BAC=∠CAD，
在△ACD和△ACE中，

AE=AD ∠BAC=∠CAD AC=AC

，
∴△ACD≌△ACE（SAS），故①正确；

∴CD=CE，
∵∠BCE=15°，
∴∠BEC=90°-∠BCE=90°-15°=75°，
∴∠CED=180°-∠BEC-∠AED=180°-75°-45°=60°，
∴△CDE为等边三角形，故②正确；

在△ADE中，∵AE=AD，∠BAC=∠CAD，
∴AH⊥ED，
即AC⊥ED，故③正确；

设EH=a，则AH=EH=a，CH=

3

EH=

3

a，
∴AC=a+

3

a，
根据等腰直角三角形的性质，AE=

2

EH=

2

a，
AB=

2

2

AC=

2

2

（a+

3

a）=

2 a+ 6 a

2

，
∴BE=AB-AE=

2 a+ 6 a

2

-

2

a=

- 2 a+ 6 a

2

，
∴

EH

BE

=

- 2 a+ 6 a

2a

=

- 2 + 6

2

≠2，故④错误，
综上所述，正确的结论有①②③．
故选B．

点评：本题考查了直角梯形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，综合题但难度不大，熟记各性质是解题的关键．