题目内容
如图，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D．直线y=-2x-1经过抛物线上一点B（-2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．（1）求m的值及该抛物线对应的解析式；
（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标；
（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由．
【答案】分析：（1）首先求出点B的坐标和m的值，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）△ADP与△ADC有共同的底边AD，因为面积相等，所以AD边上的高相等，即为1；从而得到点P的纵坐标为1，再利用抛物线的解析式求出点P的纵坐标；
（3）如解答图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形，注意不要漏解．针对每一个菱形，分别进行计算，求出线段MF的长度，从而得到运动时间t的值．
解答：解：（1）∵点B（-2，m）在直线y=-2x-1上
∴m=-2×（-2）-1=4-1=3，
所以，点B（-2，3），
又∵抛物线经过原点O，
∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx，
∵点B（-2，3），A（4，0）在抛物线上，
∴
，
解得：
．
∴设抛物线的解析式为
．
（2）∵P（x，y）是抛物线上的一点，
∴
，
若S△ADP=S△ADC，
∵
，
，
又∵点C是直线y=-2x-1与y轴交点，
∴C（0，-1），
∴OC=1，
∴
，即
或
，
解得：
．
∴点P的坐标为
．
（3）结论：存在．
∵抛物线的解析式为
，
∴顶点E（2，-1），对称轴为x=2；
点F是直线y=-2x-1与对称轴x=2的交点，∴F（2，-5），DF=5．
又∵A（4，0），
∴AE=
．
如右图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形：
①菱形AEM1Q1．
∵此时EM1=AE=
，
∴M1F=DF-DE-DM1=4-
，
∴t1=4-
；
②菱形AEOM2．
∵此时DM2=DE=1，
∴M2F=DF+DM2=6，
∴t2=6；
③菱形AEM3Q3．
∵此时EM3=AE=
，
∴DM3=EM3-DE=
-1，
∴M3F=DM3+DF=（
-1）+5=4+
，
∴t3=4+
；
④菱形AM4EQ4．
此时AE为菱形的对角线，设对角线AE与M4Q4交于点H，则AE⊥M4Q4，
∵易知△AED∽△M4EH，
∴
，即
，得M4E=
，
∴DM4=M4E-DE=
-1=
，
∴M4F=DM4+DF=
+5=
，
∴t4=
．
综上所述，存在点M、点Q，使得以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形；时间t的值为：t1=4-
，t2=6，t3=4+
，t4=
．
点评：本题是二次函数综合题，考查的知识点包括二次函数的图象与性质、一次函数、待定系数法、图形面积、菱形的判定与性质等，由于涉及考点众多，所以难度较大．第（2）问是存在型问题，要点在于利用面积的相等关系求出点P的纵坐标，然后运用方程思想求得其横坐标；第（3）问是运动型问题，注意符合条件的菱形有四个，避免漏解．
（2）△ADP与△ADC有共同的底边AD，因为面积相等，所以AD边上的高相等，即为1；从而得到点P的纵坐标为1，再利用抛物线的解析式求出点P的纵坐标；
（3）如解答图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形，注意不要漏解．针对每一个菱形，分别进行计算，求出线段MF的长度，从而得到运动时间t的值．
解答：解：（1）∵点B（-2，m）在直线y=-2x-1上
∴m=-2×（-2）-1=4-1=3，
所以，点B（-2，3），
又∵抛物线经过原点O，
∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx，
∵点B（-2，3），A（4，0）在抛物线上，
∴
，解得：
．∴设抛物线的解析式为
．（2）∵P（x，y）是抛物线上的一点，
∴
，若S△ADP=S△ADC，
∵
，，又∵点C是直线y=-2x-1与y轴交点，
∴C（0，-1），
∴OC=1，
∴
，即或，解得：
．∴点P的坐标为
．（3）结论：存在．
∵抛物线的解析式为
，∴顶点E（2，-1），对称轴为x=2；
点F是直线y=-2x-1与对称轴x=2的交点，∴F（2，-5），DF=5．
又∵A（4，0），
∴AE=
．如右图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形：
①菱形AEM1Q1．
∵此时EM1=AE=
，∴M1F=DF-DE-DM1=4-
，∴t1=4-
；②菱形AEOM2．
∵此时DM2=DE=1，
∴M2F=DF+DM2=6，
∴t2=6；
③菱形AEM3Q3．
∵此时EM3=AE=
，∴DM3=EM3-DE=
-1，∴M3F=DM3+DF=（
-1）+5=4+，∴t3=4+
；④菱形AM4EQ4．
此时AE为菱形的对角线，设对角线AE与M4Q4交于点H，则AE⊥M4Q4，
∵易知△AED∽△M4EH，
∴
，即，得M4E=，∴DM4=M4E-DE=
-1=，∴M4F=DM4+DF=
+5=，∴t4=
．综上所述，存在点M、点Q，使得以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形；时间t的值为：t1=4-
，t2=6，t3=4+，t4=．点评：本题是二次函数综合题，考查的知识点包括二次函数的图象与性质、一次函数、待定系数法、图形面积、菱形的判定与性质等，由于涉及考点众多，所以难度较大．第（2）问是存在型问题，要点在于利用面积的相等关系求出点P的纵坐标，然后运用方程思想求得其横坐标；第（3）问是运动型问题，注意符合条件的菱形有四个，避免漏解．
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