Question

已知抛物线y=ax²-4ax+c与y轴交于点A（0，3），点B是抛物线上的点，且满足AB∥x轴，点C是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的对称轴及B点坐标；
（2）若抛物线经过点（-2，0），求抛物线的表达式；
（3）对（2）中的抛物线，点D在线段AB上，若以点A、C、D为顶点的三角形与△AOC相似，试求点D的坐标．

Answer 1

解：（1）由题意得，，
∴对称轴为直线x=2；
∵点A（0，3），点B是抛物线上的点，AB∥x轴，
∴AB被直线x=2垂直平分，
∴B（4，3）．

（2）∵抛物线经过点（0，3），（-2，0），所以有，
解得，∴抛物线的表达式为．

（3）∵抛物线的对称轴为直线x=2，
∴C（2，4），
过点C作CE⊥y轴，垂足为点E，设对称轴与AB交于点G，
连接OC，交AB与点F，
∵AB∥x轴，∴∠CFA=90°，∴∠CEO=∠CGA，
又∵，，∴，
∴△EOC∽△GAC，
∴∠AOC=∠CAG，
当△AOC∽△DAC时，有，
∵，
∴，∴；
当△AOC∽△CAD时，有，
∴，∴，
∴点D的坐标为或．
分析：（1）先根据题意得出，求出对称轴为直线x=2；知道点A的坐标，点B是抛物线上的点AB∥x轴，即可求出抛物线的对称轴及B点坐标
（2）根据抛物线经过点（0，3），（-2，0），所以有，解出a、c的值，即可求出抛物线的表达式．
（3）先根据抛物线的对称轴为直线x=2，求出C的坐标，再过点C作CE⊥y轴，垂足为点E，设对称轴与AB交于点F．
求出EOC∽△FAC，∠AOC=∠CAF，当△AOC∽△DAC时，求出AO、CO、AC的值，最后求出，；当△AOC∽△CAD时，再求出AD的值，最后求出点D的坐标即可．
点评：本题主要考查了函数和相似三角形的综合应用问题，解题时要注意分类讨论和数形结合的思想方法．