Question

如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点；OC⊥AD，CF⊥DB于F．
（1）求证：CF为⊙O的切线；
（2）若BF=1，DB=3，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）利用圆周角定理以及垂直于同一直线的两条直线平行得出∠OCF=90°，即可得出答案；
（2）利用切割线定理以及相似三角形的判定得出△BFC∽△BCA，进而利用相似三角形的性质得出即可．

解答：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵OC⊥AD，CF⊥DB，
∴CO∥DF，
∴∠OCF=90°，
∴CF为⊙O的切线；

（2）解：连接BC，
∵CF为⊙O的切线，
∴FC²=FB×FD，
∵BF=1，DB=3，
∴FC=2，
∴BC=

22+12

=

5

，
∵∠ACO+∠OCB=90°，∠OCB+∠BCF=90°，
∴∠ACB=∠FCB，
又∵∠ACB=∠F，
∴△BFC∽△BCA，
∴

BC

AB

=

BF

BC

，
∴

5

AB

=

1

5

，
解得：AB=5．

点评：此题主要考查了切线的判定和相似三角形的判定与性质，根据已知得出△BFC∽△BCA是解题关键．