Question

5．在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，BE=1，EF=2，则S_矩形ABCD=4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先证明△AOE≌△COF，得出对应边相等OE=OF=$\frac{1}{2}$EF=1，再由线段垂直平分线的性质得出OA=AB，然后证明△OAB是等边三角形，得出OA=AB=OB=2，根据勾股定理求出BC，即可求出矩形的面积．

解答 解：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=OB=OD，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO=∠CF=90°，
在△AOE和△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠CFO}&{\;}\\{∠AOE=∠COF}&{\;}\\{OA=OC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF=$\frac{1}{2}$EF=1，
∴OE=BE，
∴OA=AB，OB=2，
∴OA=AB=OB=2，
∴AC=4，
∴BC=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴S_矩形ABCD=AB•BC=2×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$；
故答案为：4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理、矩形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．