Question

如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E．

（1）若BD平分∠ABC，求证CE=BD；

（2）若D为AC上一动点，∠AED将会如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由。

Answer 1

（1）延长BA、CE相交于点F，

         先证△BEC≌△BEF(ASA)（          3分），

      ∴CE=FE，∴CE=CF．

      ∵∠BAC是直角，∴∠BAD=∠CAF=90°，

      而∠F+∠FBE=∠FCA+∠F=90°，

        ∴∠ACF=∠FBE                   （4分），

      又∵AC=AB，∴△BAD≌△CAF(ASA)，

          ∴BD=CF，即CE=BD（5分）

（2）∠AEB不变为45°（6分）

      理由如下：

过点A作AH⊥BE垂足为H，

作AG⊥CE交CE延长线于G，

先证∠ACF=∠ABD                  （8分）

得△BAH≌△CAG(AAS)，∴AH=AG   （9分）

而AH⊥EB，AG⊥EG，∴EA平分∠BEF，

   ∴∠BEA=∠BEG=45°            （10分）

  或：由⑴证得△BAD≌△CAF(ASA)，△BAD的面积=△CAF的面积，∴BD•AH=CF•AG，而BD=CF，∴AH=AG（余下同上）．