Question

如图所示，点是⊙上一点，⊙与⊙相交于、两点，，垂足为，分别交⊙、⊙于、两点，延长交⊙于，交的延长线于，交于，连结．

1.求证：；

2.若，求证：；

3. 若，且线段、的长是关于的方程的两个实数根，求、的长．

 

 

Answer 1

 

1.∵BC⊥AD于D，

∴∠BDA=∠CDA=90°，

 ∴AB、AC分别为⊙O₁、⊙O₂的直径．                       

   ∵∠2=∠3，∠BGD+∠2=90°，∠C+∠3=90°，

    ∴∠BGD=∠C．                                       

2.∵∠DO₂C=45°，∴∠ABD=45°

∵O₂D=O₂C，

∴∠C=∠O₂DC=（180°-∠DO₂C）=67.5°，                   

∴∠4=22.5°，·                                           

 ∵∠O₂DC=∠ABD+∠F，

∴∠F=∠4=22.5°，∴AD=AF．                                 

   3.∵BF=6CD，∴设CD=k，则BF=6k．

   连结AE，则AE⊥AD，∴AE∥BC，

   ∴  ∴AE·BF=BD·AF．

   又∵在△AO₂E和△DO₂C中，AO₂=DO₂

   ∠AO₂E=∠DO₂C， O₂E=O₂C，

   ∴△AO₂E≌△DO₂C，∴AE=CD=k，

   ∴6k²=BD·AF=（BC-CD）（BF-AB）．

   ∵∠BO₂A=90°，O₂A=O₂C，∴BC=AB．

   ∴6k²=（BC-k）（6k-BC）．∴BC²-7kBC+12k²=0，

    解得：BC=3k或BC=4k．                                 

   当BC=3k，BD=2k．

   ∵BD、BF的长是关于x的方程x²-（4m+2）x+4m²+8=0的两个实数根．

   ∴由根与系数的关系知：BD+BF=2k+6k=8k=4m+2．

   整理，得：4m²-12m+29=0．

   ∵△=（-12）²-4×4×29=-320<0，此方程无实数根．

    ∴BC=3k（舍）．                                         

   当BC=4k时，BD=3k．

   ∴3k+6k=4m+2，18k²=4m²+8，整理，

   得：m²-8m+16=0，

   解得：m₁=m₂=4，

    ∴原方程可化为x²-18x+72=0，

    解得：x₁=6，x₂=12， ∴BD=6，BF=12．

 解析:略