Question

如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=4，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB、AC上，且G、F分别是AB、AC的中点．
（1）填空：GF的长度为______，等腰梯形DEFG的面积为______．
（2）操作：固定△ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止．设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEF’G’（如图2）
探究：在运动过程中，四边形BDG’G能否为菱形？若能，请求出此时x的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵G、F分别是AB、AC的中点，
∴GF=BC=×4=2，
过G点作GM⊥BC于M，
∵AB=AC，∠BAC=90°，BC=4，G为AB中点
∴GM=
∴S_梯形DEFG=（2+4）×=6，
∴等腰梯形DEFG的面积为6
故答案为：2，6；

（2）能为菱形
由BG∥DG′，GG′∥BC
∴四边形BDG′G是平行四边形
又AB=AC，∠BAC=90°，BC=4，
∴AB=AC=4，
当BD=BG=AB=2时，四边形BDG′G为菱形
此时可求得x=2，
∴当x=2秒时，四边形BDG′G为菱形
分析：（1）根据三角形中位线定理求出GF的长，再利用辅助线的帮助过点GM⊥BC于M．推出2GF=BC，G为AB中点可知GM的值．从而求出梯形面积．
（2）①BG∥DG′，GG′∥BC推出四边形BDG′G是平行四边形；当BD=BG=AB=2时，四边形BDG′G为菱形．
点评：此题主要考查勾股定理、三角形中位线、等腰梯形的性质及菱形性质等知识点的综合运用，要求学生对所学知识能灵活运用．