Question

已知：矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点E在对角线AC上，且CE=6，动点P在矩形ABCD的四边上运动一周，则以P、E、C为顶点的等腰三角形有（　　）个．

A．5

B．6

C．7

D．8

Answer 1

分析：根据等腰三角形的性质分为四种情况：P在BC上，P在CD上，P在AD上，P在AB上，在每种情况又分为三种情况①CE=PE，②PE=PC，③CE=CP，①CE=PE，分别求出对应的值，和CD、AD、AB比较即可．

解答：解：（1）P在BC上：①CP=CE=6＜12，此时有一点P；
②CE=PE=6时，
过E作EN⊥BC于N，
cos∠ACB=

12

13

=

CN

CE

，
CN=

72

13

，
CP=2CN=

144

13

＜12，此时有1点P；
③CP=EP时，
P在CE的垂直平分线MN（M为垂足）上，CM=EM=3，
cos∠ACB=

12

13

=

CM

CP

，
CP=

39

12

＜12，存在一点P；
（2）P在CD上：①PE=PC，
此时P在CE的垂直平分线MN（M为垂足）上，
CM=EM=3，
cos∠ACD=

5

13

=

CM

CP

，
CP=

39

5

＞5，
即P在CD的延长线上，此时不存在P点；
②CE=CP=6＞CD，此时不存在P点；
③EP=CE=6，
过E作EN⊥CD于N，
cos∠ACD=

5

13

=

CN

CE

，
CN=

30

13

，
CP=2CN=

60

13

＜CD，即此时存在一点P；
（3）P在AD上：①PE=CP，
过P作PM⊥AC于M，CM=EM=3，AM=13-3=10，
cos∠DAC=

12

13

=

AM

AP

，
AP=

130

12

＜12，即此时存在一点P；
②CE=PC，
PD=

62-52

=

11

＜12，此时存在一点P；
③PE=CE=6，
sin∠DAC=

5

13

=

EM

AE

，
EM=

35

13

，
AM=

72-( 35 13 )2

=

42

13

，PM=

62-( 35 13 )2

=

4429

13

，
AP=

42

13

-

4429

13

，AP′=

42

13

+

4429

13

，即存在2点P；

（4）P在AB上：①CP=PE，即P在CE的垂直平分线MN（M为垂足）上，
cos∠ACB=

12

13

=

CM

CP

，
CP=

39

12

＜12，即CP小于C到AB的最短距离，即此时不存在P点；
②CE=CP=6＜12，
∵C到AB的最短距离是12，
∴此时不存在P点；
③CE=PE=6，AE=13-6=7，
过E作EM⊥AB于M，
sin∠BAC=

12

13

=

EM

AE

，
EM=

84

13

＞PE，
即E到AB的最短距离大于PE，
即此时不存在P点；
综合上述：共有（1+1+1）+1+（1+1+2）+0=8．
故选D．

点评：本题考查了对等腰三角形的判定和矩形的性质、勾股定理、线段垂直平分线性质的应用，关键是通过作图求出符合条件的所有情况，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．