题目内容
【题目】已知抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点D
（1）求该抛物线的解析式及点D的坐标。
（2）连接AC，CD，BD，BC，设△AOC，△BOC，△BCD的面积分别为S1 ， S2和S3 ， 用等式表示S1 ， S2 ， S3之间的数量关系，并说明理由
（3）假设存在，设点M的坐标为（m，0），表示出MA的长，根据MN∥BC，得到比例式求出AN，根据△AMN∽△ACM，得到比例式求出m，得到点M的坐标，求出BC的解析式，根据MN∥BC，设直线MN的解析式，求解即可
【答案】
（1）
解：∵抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴
，
解得
．
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3，
y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴点D的坐标为：（1，﹣4）
（2）
解：S1+S3=S2，
过点D作DE⊥x轴于点E，DF⊥y轴于F，
由题意得，CD=
，BD=
，BC=
，
CD2+BC2=BD2，
∴△BCD是直角三角形，
S1=
×OA×OC=
，
S2=×OB×OC=
S3=×CD×BC=3，
∴S1+S3=S2
（3）
解：存在点M使∠AMN=∠ACM，
设点M的坐标为（m，0），
∵﹣1＜m＜3，
∴MA=m+1，AC=
，
∵MN∥BC，
∴
=
，即
=
，
解得，AN=
（m+1），
∵∠AMN=∠ACM，∠MAN=∠CAM，
∴△AMN∽△ACM，
∴
=
，即（m+1）2=（m+1），
解得，m1=，m2=﹣1（舍去），
∴点M的坐标为（，0），
设BC的解析式为y=kx+b，把B（3，0），C（0，﹣3）代入得，
，解得
，
则BC的解析式为y=x﹣3，又MN∥BC，
∴设直线MN的解析式为y=x+b，把点M的坐标为（，0）代入得，
b=﹣，
∴直线MN的解析式为y=x﹣．
【解析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，用配方法把一般式化为顶点式求出点D的坐标；
（2）根据点的坐标求出△AOC，△BOC的面积，利用勾股定理的逆定理判断△BCD为直角三角形，求出其面积，计算即可得到答案；
（3）假设存在，设点M的坐标为（m，0），表示出MA的长，根据MN∥BC，得到比例式求出AN，根据△AMN∽△ACM，得到比例式求出m，得到点M的坐标，求出BC的解析式，根据MN∥BC，设直线MN的解析式，求解即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的性质的相关知识，掌握对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．
