Question

如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB、AC分别交于点D、E，过点D作DF⊥AC于F．试判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

解：DF与⊙O的位置关系是相切．理由如下：
连接OD，如图；
∵△ABC是等边三角形
∴∠A=60°，∠B=60°，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BDO=∠A=60°，
∴OD∥AC；
又∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线．
分析：连接OD，可知道△ODB是等边三角形，从而得到OD∥AC，证明OD⊥DE．
点评：掌握等边三角形的性质和圆的切线的判定方法；掌握证明直线是圆的切线问题要转化为证明两直线垂直的问题．