Question

（2013•永州模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O直径，E是CB延长线上一点，且∠BAE=∠C．
（1）求证：直线AE是⊙O的切线；
（2）若EB=AB，cosE=

4

5

，AE=24，求EB的长及⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）根据圆周角定理以及直径所对圆周角得出∠1+∠D=90°，进而得出∠DAE=90°，即可得出直线AE是⊙O的切线；
（2）根据锐角三角函数关系得出EB=

EF

cosE

进而得出即可，再设BD=4k，则AD=5k．在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB=3k，即可得出k的值，进而得出答案．

解答：（1）证明：连接BD．
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°．
∴∠1+∠D=90°．
∵∠C=∠D，∠C=∠BAE，
∴∠D=∠BAE．
∴∠1+∠BAE=90°．
即∠DAE=90°．
∵AD是⊙O的直径，
∴直线AE是⊙O的切线．

（2）解：过点B作BF⊥AE于点F，则∠BFE=90°．
∵EB=AB，
∴∠E=∠BAE，EF=

1

2

AE=

1

2

×24=12．
∵∠BFE=90°，cosE=

4

5

，
∴EB=

EF

cosE

=

5

4

×12=15．
∴AB=15．
由（1）∠D=∠BAE，又∠E=∠BAE，
∴∠D=∠E．
∵∠ABD=90°，
∴cosD=

BD

AD

=

4

5

．
设BD=4k，则AD=5k．
在Rt△ABD中，∠ABD=90°，由勾股定理得：
AB=

AD2-BD2

=3k，可求得k=5．
∴AD=25．
∴⊙O的半径为

25

2

．

点评：此题主要考查了圆的综合应用以及锐角三角形有关计算和圆周角定理等知识，根据已知得出BE=

EF

cosE

是解题关键．