Question

解答题

在直角坐标系xOy中，O为坐标原点，A、B、C三点的坐标分别为A(5，0)、B(0，4)、C(－1，0)，点M和点N在x轴上(点M在点N的左边)，点N在原点的右边，作MP⊥BN，垂足为P(点P在线段BN上，且点P与点B不重合)，直线MP与y轴交于点G，MG＝BN．

(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式．

(2)求点M的坐标．

(3)设ON＝t，△MOG的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

(4)过点B作直线BK平行于x轴，在直线BK上是否存在点R，使△ORA为等腰三角形？若存在，请直接写出点R的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)设所求抛物线的解析式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得解得∴所求的解析式为y＝－x2＋x＋4． 　　(2)依题意，分两种情况： 　　①当点M在原点的左边时，(如图答)．在Rt△BON中，∠1＋∠3＝，∴∠1＝∠2．在Rt△BON和Rt△MOG中，∴Rt△BON≌Rt△MOG，∴OM＝OB＝4，∴M点坐标为(－4，0) 　　②当点M在原点的右边时，同理可证OM＝OB＝4，此时M点坐标为(4，0)，∴M点坐标为(4，0)或(－4，0) 　　(3)在上图答中，Rt△BON≌△MOG，∴OG＝ON＝t，∴S＝OM·OG＝·4·t＝2t(其中0＜t＜4)．下图答中，同理可得S＝2t，其中t＞4，∴所求的函数关系式为S＝2t，t的取值范围为t＞0且t≠4． 　　(4)存在点R；使△ORA为等腰三角形，其坐标为：R1(－3，4)，R2(3，4)，R3(2，4)，R4(，4)，R5(8，4)．