Question

点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线PA交双曲线上于点A，连接OA。
（1）如下图（1），当点P在x轴的正方向上运动时，Rt△AOP的面积大小是否变化？若不变，请求出Rt△AOP的面积；若改变，试说明理由；
（2）如下图（2），在x轴上的点P的右侧有一点D，过点D作x轴的垂线交双曲线于点B，连接BO交AP 于点G设△AOP的面积为S₁，梯形BCPD的面积为S2，则S₁与S₂的大小关系是S₁（    ）S₂。（选填或）
（3）如下图（3），AO的延长线与双曲线的另一个交点是点F，FH⊥x轴，垂足为 H，连接AH，PF，试证明四边形APFH的面积为一常数。

Answer 1

解：（1），设P点坐标为（x，y），
则，
即xy=1，
∴
故当P在x轴的正方向上运动时，Rt△AOP的面积不变，总等于；
（2）；
（3）因为A、F两点关于原点O成中心对称，FH⊥ x轴，易知OP=OH，所以四边形APFH是平行四边形，其面积为S_△AOP的4倍，即为2。故四边形APFH的面积为一常数。