题目内容

如图，横截面为等腰梯形的无盖水槽，其周长为40cm，底角∠ABC=∠DCB=60°．设AB为xcm，BC为ycm．
（1）求y与x的函数关系式并写出自变量的取值范围；
（2）当x为何值时，横截面的面积最大？最大面积是多少？

解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，

∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=CD=x，
∵梯形的周长为40cm，
∴y+2x=40，
即可得：y=40-2x，
∵y＞x，
∴x＜ $\text{[math]}$ ，
故可得：y=40-2x（0＜x＜ $\text{[math]}$ ）．

（2）∵AD=BC-2BE=y-x，
∴S梯形ABCD= $\text{[math]}$ （AD+BC）×AE= $\text{[math]}$ （2y-x）× $\text{[math]}$ x=- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （x-8）²+80 $\text{[math]}$ ，
当x=8时，S取得最大，最大面积为80 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）过点A作AE⊥BC于点E，根据等腰梯形的性质即可得出y与x的函数关系式；
（2）表示出横截面积，运用配方法求最值即可．
点评：本题考查了等腰梯形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，用x表示出各线段的长度，难度一般．

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若∠ACB=90°，设AC=x厘米，该水槽的横截面面积为y厘米²，请你写出y关于x的函数关系式（不必写出x的取值范围），并求出当x取何值时，y的值最大，最大值又是多少？
方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽（如图2）．
若∠ABC=120°，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的y的最大值比较大小；
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