题目内容

如图，AB= $数学公式$ ，线段AB的两端点在函数y= $数学公式$ （x＞0）的图象上，AC⊥轴于点C，BD⊥y轴于点D，线段AC，BD相交于点E．当DO=2CO时，图中阴影部分的面积等于________．

4 $\text{[math]}$
分析：首先假设出A，B点的坐标，进而得出AE= $\text{[math]}$ -2a，BE= $\text{[math]}$ -a，再利用勾股定理求出a的值，进而得出阴影部分的面积．
解答：如果设OC=a，则OD=2a，
点A、B坐标为A（a， $\text{[math]}$ ），B（ $\text{[math]}$ ，2a），
∴AE= $\text{[math]}$ -2a，BE= $\text{[math]}$ -a，
∵AB= $\text{[math]}$ ，
∴在Rt△AEB中，
AE²+BE²=AB²，
则（ $\text{[math]}$ -2a）²+（ $\text{[math]}$ -a）²=（ $\text{[math]}$ ）²，
整理得出：4a⁴-41a²+100=0，

解得：a²= $\text{[math]}$ 或a²=4，
∴a=2.5或-2.5（不合题意舍去），
a=2或-2（不合题意舍去）．
故A点坐标为：（2，5），B点坐标为：（2.5，4），
或A点坐标为：（2.5，4），B点坐标为：（2，5），
综上所述结合图形可得出A点坐标为：（2，5），B点坐标为：（2.5，4），
∴AE=1，BE=0.5，
∴DE=CO=2，
EC=4，
∴图中阴影部分的面积等于： $\text{[math]}$ ×DE×EC+ $\text{[math]}$ AE×BE= $\text{[math]}$ ×2×4+ $\text{[math]}$ ×1×0.5=4 $\text{[math]}$ ．
故答案为：4 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查的是反比例函数系数k的几何意义以及勾股定理，熟知在反比例函数y= $\text{[math]}$ 的图象上任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|是解答此题的关键．