题目内容

正比例函数与一次函数的图象如图所示，其中交点坐标为A（4，3），B为一次函数与y轴交点，且|OA|=2|OB|．
（1）求正比例函数与一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．

解：（1）设正比例函数为y=kx，
把A（4，3）代入得3=4k，解得k= $\text{[math]}$ ，
故正比例函数的解析式为y= $\text{[math]}$ ；
又∵|OA|=2|OB|，
而OA= $\text{[math]}$ ，
∴OB= $\text{[math]}$ ，
∴B点坐标为（0，- $\text{[math]}$ ），
设直线AB的解析式为：y=mx- $\text{[math]}$ ，
把A（4，3）代入得3=4m- $\text{[math]}$ ，
∴m= $\text{[math]}$ ，
∴一次函数解析式为y= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ；

（2）S_△AOB= $\text{[math]}$ ×OB×|x_A|= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×4=5．
分析：（1）先把A（4，3）代入正比例函数y=kx可求出k的值，再利用勾股定理计算出OA的长，则可得到OB的长，确定B点坐标，然后利用待定系数法确定直线AB的解析式；
（2）根据三角形的面积公式计算．
点评：本题考查了两直线平行或相交的问题：直线y=k₁x+b₁（k₁≠0）和直线y=k₂x+b₂（k₂≠0）平行，则k₁=k₂；若直线y=k₁x+b₁（k₁≠0）和直线y=k₂x+b₂（k₂≠0）相交，则交点坐标满足两函数的解析式．也考查了待定系数法求函数的解析式．